In der Mathematik ist ein symplektischer Vektorraum ein Vektorraum V über einem Feld F (zum Beispiel die reellen Zahlen R ) ausgestattet mit einer symplektischen bilinearen Form.
Eine symplektische bilineare Form ist eine Abbildung ω : V × V → F das ist
Wenn das zugrunde liegende Feld die Charakteristik nicht 2 hat, entspricht die Abwechslung der Skew-Symmetrie. Wenn die Kennlinie 2 ist, ist die Schräglaufsymmetrie impliziert, impliziert jedoch keine Abwechslung. In diesem Fall ist jede symplektische Form eine symmetrische Form, aber nicht umgekehrt. Bei fester Basis kann ω durch eine Matrix dargestellt werden. Die obigen Bedingungen besagen, dass diese Matrix schräg symmetrisch, nicht singulär und hohl sein muss. Dies ist nicht dasselbe wie eine symplektische Matrix, die eine symplektische Transformation des Raumes darstellt. Wenn V endlichdimensional ist, muss seine Dimension unbedingt gerade sein, da jede schiefsymmetrische hohle Matrix ungerader Größe die Determinante Null hat. Beachten Sie, dass die Bedingung, dass die Matrix hohl ist, nicht redundant ist, wenn die Eigenschaft des Feldes 2 ist. Eine symplektische Form verhält sich ganz anders als eine symmetrische Form, z. B. das Skalarprodukt auf euklidischen Vektorräumen.
Symplektischer Standardraum Bearbeiten
Der symplektische Standardraum ist R 2 n mit der symplektischen Form, die durch ein Nichtsingular gegeben ist. schrägsymmetrische Matrix. Typischerweise wird ω als Blockmatrix gewählt
wobei I n die n × n Identitätsmatrix ist. In Bezug auf Basisvektoren ( x 1 …, x n y 1 . .., y n ) :
Eine modifizierte Version des Gram-Schmidt-Prozesses zeigt, dass jede endlich dimensionale Symplektik möglich ist Der Vektorraum hat eine solche Basis, dass ω diese Form annimmt, die oft als Darboux-Basis oder symplecti bezeichnet wird c Basis.
Es gibt eine andere Möglichkeit, diese symplektische Standardform zu interpretieren. Da der oben verwendete Modellraum R 2n viel kanonische Struktur aufweist, die leicht zu Fehlinterpretationen führen kann, werden stattdessen "anonyme" Vektorräume verwendet. Sei V ein realer Vektorraum der Dimension n und V ∗ sein doppelter Raum. Betrachten Sie nun die direkte Summe W = V ⊕ V ∗ dieser Räume, die mit der folgenden Form ausgestattet sind:
Wählen Sie nun eine beliebige Basis ( v 1 …, v n ) von V und betrachten seine doppelte Grundlage
Wir können die Basisvektoren als liegend in W interpretieren, wenn wir schreiben x i = ( v i 0) und y i = (0, v i ∗ ) . Zusammengenommen bilden diese eine vollständige Basis von W ,
Das Formular ω hat die gleichen Eigenschaften wie zu Beginn dieses Abschnitts. Andererseits ist jede symplektische Struktur zu einer der Formen isomorph V ⊕ V ∗ . Der Unterraum V ist nicht eindeutig, und eine Auswahl des Unterraums V wird als Polarisation bezeichnet. Die Unterräume, die einen solchen Isomorphismus ergeben, heißen Lagrange-Unterräume oder einfach Lagrange.
Ausdrücklich, wenn ein Lagrange-Unterraum (wie unten definiert) gegeben ist, dann eine Auswahl der Basis ( x 1 … x n ]) definiert eine doppelte Basis für ein Komplement durch ω ( x i y j = δ ij .
Analogie zu komplexen Strukturen
So wie jede symplektische Struktur zu einer der Formen isomorph ist V ⊕ V ∗ ist jede komplexe Struktur auf einem Vektorraum isomorph zu einer der Formen V ⊕ V . Unter Verwendung dieser Strukturen hat das Tangentenbündel eines n -Verteilers, das als 2 n -Verteiler betrachtet wird, eine fast komplexe Struktur, und das co -Tangentenbündel einer n -Vielfalt, die als 2 n -Vielfalt betrachtet wird, hat eine symplektische Struktur: T ∗ ( T ∗ M ) p = T p ( M ) ⊕ ( T p ( M ) ∗ .
Der zu einem Lagrange-Unterraum analoge Komplex ist ein realer Unterraum, dessen Komplexierung der gesamte Raum ist: W = V ⊕ J V . Wie aus der obigen symplektischen Standardform ersichtlich, ist jede symplektische Form auf
ist isomorph zum imaginären Teil des inneren Produkts des Standardkomplexes (Hermitian) auf
ist isomorph zum imaginären Teil des inneren Produkts des Standardkomplexes (Hermitian) auf (wobei die Konvention des ersten Arguments anti-linear ist).
(wobei die Konvention des ersten Arguments anti-linear ist).
Volumenform Bearbeiten
Sei ω eine alternierende bilineare Form auf einem n -dimensionalen reellen Vektorraum V ω ∈ Λ 2 ( V ) . Dann ist ω genau dann nicht entartet, wenn n gerade ist und ω n / 2 = ω ∧ … ∧ ω ist eine Volumenform. Eine Volumenform auf einem n -dimensionalen Vektorraum V ist ein von Null verschiedenes Vielfaches der n -Form e 1 ] ∗ ∧ … ∧ e n ∗ wobei e 1 e 2 …, e n ist eine Basis von V .
Für die im vorherigen Abschnitt definierte Standardbasis haben wir
Durch Nachbestellen kann man schreiben
Die Autoren definieren ω n oder (−1) n / 2 ω n als Standardvolumenform . Ein gelegentlicher Faktor von n ! kann auch auftreten, je nachdem, ob die Definition des -Alternativprodukts einen Faktor von n enthält! oder nicht. Die Volumenform definiert eine Orientierung auf dem symplektischen Vektorraum ( V ω ) .
Symplektische Karte Bearbeiten
Angenommen, ( V ω ) und ( W ρ ) sind symplektische Vektorräume. Dann wird eine lineare Karte f : V → W eine symplektische Karte genannt, wenn der Pullback die symplektische Form beibehält, dh f ∗ ρ = ω wobei die Pullback-Form durch ( f ∗ ρ ( u v = ρ ( f ( u ), f ( v ) . Symplectic Maps sind volumen- und orientierungserhaltend.
Symplektische Gruppe Bearbeiten
Wenn V = W wird eine symplektische Karte als lineare symplektische Transformation bezeichnet von V . Insbesondere hat man in diesem Fall das ω ( f ( u ), f ( v ) ) = ω ( u v ) und so bewahrt die lineare Transformation f die symplektische Form. Die Menge aller symplektischen Transformationen bildet eine Gruppe und insbesondere eine Lie-Gruppe, die als symplektische Gruppe bezeichnet wird und mit Sp ( V ) oder manchmal mit Sp ( V bezeichnet wird ] ω ) . In Matrixform sind symplektische Transformationen durch symplektische Matrizen gegeben.
Subräume edit
Sei W ein linearer Subraum von V . Definieren Sie das symplektische Komplement von W als Subraum
Die symplektische Ergänzung erfüllt:
Im Gegensatz zu orthogonalen Ergänzungen W ⊥ ∩ W muss nicht 0 sein. Wir unterscheiden vier Fälle:
- W ist symplektisch wenn W ⊥ ∩ W = {0 }. Dies gilt genau dann, wenn sich ω auf eine nicht entartete Form von W beschränkt. Ein symplektischer Unterraum mit der eingeschränkten Form ist selbst ein symplektischer Vektorraum.
- W ist isotrop if W ⊆ W ⊥ [19659162]. Dies gilt genau dann, wenn ω auf W auf 0 beschränkt ist. Jeder eindimensionale Unterraum ist isotrop.
- W ist coisotrop if W ⊥ ⊆ W . W ist genau dann coisotrop, wenn ω auf den Quotientenraum W / W ⊥ abfällt. Entsprechend ist W genau dann coisotrop, wenn W ⊥ isotrop ist. Jeder Codimension-1-Unterraum ist coisotrop.
- W ist Lagrange wenn W = W ⊥ . Ein Unterraum ist genau dann Lagrange, wenn er sowohl isotrop als auch coisotrop ist. In einem endlichdimensionalen Vektorraum ist ein Lagrange-Unterraum ein isotroper Raum, dessen Dimension halb so groß ist wie die von V . Jeder isotrope Unterraum kann auf einen Lagrange-Unterraum erweitert werden.
Unter Bezugnahme auf den kanonischen Vektorraum R 2 n oben,
- Der von { x 1 y 1 } aufgespannte Unterraum ist symplektisch
- der von { x 1 aufgespannte Unterraum x 2 } ist isotrop
- der von { x 1 x 2 aufgespannte Unterraum. …, x n y 1 } ist coisotrop
- der von { x 1 überspannte Unterraum x 2 …, x n } ist Lagrange.
Heisenberg-Gruppe
] Eine Heisenberg-Gruppe kann für jeden symplektischen Vektorraum definiert werden, und dies ist der typische Weg, auf dem Heisenberg-Gruppen entstehen.
Ein Vektorraum kann als kommutative Lie-Gruppe (unter Addition) oder äquivalent als kommutative Lie-Algebra betrachtet werden, dh mit trivialer Lie-Klammer. Die Heisenberg-Gruppe ist eine zentrale Erweiterung einer solchen kommutativen Lie-Gruppe / Algebra: Die symplektische Form definiert die Kommutierung analog zu den kanonischen Kommutierungsrelationen (CCR), und eine Darboux-Basis entspricht kanonischen Koordinaten – physikalisch gesehen, Impulsoperatoren und Positionsoperatoren.
In der Tat ist nach dem Stone-von-Neumann-Theorem jede Repräsentation, die die CCR erfüllt (jede Repräsentation der Heisenberg-Gruppe), von dieser Form oder genauer gesagt einheitlich konjugiert mit der Standardform.
Ferner ist die Gruppenalgebra eines Vektorraums (des Dualen zu) die symmetrische Algebra und die Gruppenalgebra der Heisenberg-Gruppe (des Dualen) die Weyl-Algebra: Man kann sich die zentrale Erweiterung als entsprechend vorstellen Quantisierung oder Verformung.
Formal ist die symmetrische Algebra von V die Gruppenalgebra des Dualen, Sym ( V ): = K V ∗ ] und die Weyl-Algebra ist die Gruppenalgebra der (dualen) Heisenberg-Gruppe W ( V = K [ H ( V ∗ )] . Da die Übergabe an Gruppenalgebren eine kontravariante Funktion ist, wird die zentrale Erweiterungskarte H ( V ) → V zu einer Inklusion Sym ( V ) → W ( V ) .