Linienmethode – Enzyklopädie

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Linienmethode – das Beispiel, das den Ursprung des Namens der Methode zeigt.

Die Linienmethode (MOL, NMOL, NUMOL [1][2][3]) ist eine Technik zum Lösen von partiellen Differentialen Gleichungen (PDEs), in denen alle außer einer Dimension diskretisiert werden. MOL ermöglicht die Verwendung von Standardmethoden und -software für allgemeine Zwecke, die für die numerische Integration von ODEs und DAEs entwickelt wurden. Viele Integrationsroutinen wurden im Laufe der Jahre in vielen verschiedenen Programmiersprachen entwickelt und einige wurden als Open-Source-Ressourcen veröffentlicht. [4]

Die Methode der Linien bezieht sich am häufigsten auf die Konstruktion oder Analyse von numerischen Methoden für partielle Differentialgleichungen, die durchlaufen werden Zuerst werden nur die räumlichen Ableitungen diskretisiert und die Zeitvariable kontinuierlich belassen. Dies führt zu einem System gewöhnlicher Differentialgleichungen, auf das ein numerisches Verfahren für gewöhnliche Anfangswertgleichungen angewendet werden kann. Die Methode der Linien stammt in diesem Zusammenhang aus den frühen 1960er Jahren. [5] Seitdem sind zahlreiche Arbeiten erschienen, in denen die Genauigkeit und Stabilität der Methode der Linien für verschiedene Arten von partiellen Differentialgleichungen diskutiert wurde. [6][7]

Anwendung auf elliptische Gleichungen [19659007] [ edit ]

MOL erfordert, dass das PDE-Problem in mindestens einer Dimension als Anfangswertproblem (Cauchy-Problem) vorliegt, da ODE- und DAE-Integratoren Anfangswertproblem (IVP) sind. Löser. Daher kann es nicht direkt auf rein elliptische partielle Differentialgleichungen wie die Laplace-Gleichung angewendet werden. MOL wurde jedoch verwendet, um die Laplace-Gleichung unter Verwendung der Methode falscher Transienten zu lösen. [1][8] Bei dieser Methode wird eine Zeitableitung der abhängigen Variablen zur Laplace-Gleichung hinzugefügt. Finite Differenzen werden dann verwendet, um die räumlichen Ableitungen zu approximieren, und das resultierende Gleichungssystem wird von MOL gelöst. Es ist auch möglich, elliptische Probleme durch eine semi-analytische Methode von Linien zu lösen. [9] Bei dieser Methode führt der Diskretisierungsprozess zu einer Reihe von ODEs, die durch Ausnutzung der Eigenschaften der zugehörigen Exponentialmatrix gelöst werden .

Um die Stabilitätsprobleme zu überwinden, die mit der Methode falscher Transienten verbunden sind, wurde kürzlich ein Störungsansatz vorgeschlagen, der für einen weiten Bereich elliptischer PDEs als robuster als die Standardmethode falscher Transienten befunden wurde. [10]

Literatur [19659007] [ bearbeiten ]

  1. ^ a b Schiesser, WE (1991). Die numerische Methode der Linien . Akademische Presse. ISBN 0-12-624130-9 .
  2. ^ Hamdi, S .; W. E. Schiesser; GW Griffiths (2007), "Method of lines", Scholarpedia 2 (7): 2859, doi: 10.4249 / scholarpedia.2859
  3. ^ Schiesser, WE ; G. W. Griffiths (2009). Ein Kompendium partieller Differentialgleichungsmodelle: Methode der Linienanalyse mit Matlab . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51986-1 .
  4. ^ Lee, H. J .; W. E. Schiesser (2004). Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungsroutinen in C, C ++, Fortran, Java, Maple und Matlab . CRC-Presse. ISBN 1-58488-423-1 .
  5. ^ E. N. Sarmin; LA Chudov (1963), "Zur Stabilität der numerischen Integration von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, die sich bei der Anwendung der Geradenmethode ergeben", UdSSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 3 ] (6): 1537–1543, doi: 10.1016 / 0041–5553 (63) 90256–8
  6. ^ A. Zafarullah (1970), "Anwendung der Methode der Linien auf parabolische partielle Differentialgleichungen mit Fehlerschätzungen", Journal der Association for Computing Machinery 17 (2), S. 294 –302, doi: 10.1145 / 321574.321583
  7. ^ J. G. Verwer; JM Sanz-Serna (1984), "Konvergenz der Methode der Annäherung von Linien an partielle Differentialgleichungen", Computing 33 (3–4): 297–313, doi: 10.1007 / bf02242274
  8. ^ Schiesser, WE (1994). Computermathematik in Ingenieurwissenschaften und angewandten Wissenschaften: ODEs, DAEs und PDEs . CRC-Presse. ISBN 0-8493-7373-5 .
  9. ^ Subramanian, V. R .; RE. White (2004), "Semianalytische Linienmethode zur Lösung elliptischer partieller Differentialgleichungen", Chemical Engineering Science 59 (4): 781–788, doi: 10.1016 / j.ces .2003.10.019
  10. ^ P. W. C. Northrop; P. A. Ramachandran; W. E. Schiesser; V. R. Subramanian (2013), "Eine robuste falsch transiente Methode von Linien für elliptische partielle Differentialgleichungen", Chem. Eng. Sci. 90 S. 32–39, doi: 10.1016 / j.ces.2012.11.033

Externe Links

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