Das Supremum (abgekürzt sup ; Plural suprema ) einer Teilmenge S einer teilweise geordneten Menge T ist das kleinste Element in T das größer oder gleich allen Elementen von S ist, wenn ein solches Element existiert. ^[1] Folglich ist das Supremum auch als kleinste Obergrenze (oder LUB ) bezeichnet. ^[1]

Das Infimum ist in gewissem Sinne dual zum Konzept eines Supremums. Infima und Suprema von reellen Zahlen sind häufige Spezialfälle, die für die Analyse und insbesondere für die Lebesgue-Integration wichtig sind. Die allgemeinen Definitionen bleiben jedoch in der abstrakteren Einstellung der Ordnungstheorie gültig, wenn beliebige teilweise geordnete Mengen berücksichtigt werden.

Die Konzepte von Infimum und Supremum ähneln Minimum und Maximum, sind jedoch in der Analyse nützlicher, da sie spezielle Mengen besser charakterisieren, die möglicherweise kein Minimum oder Maximum haben. Zum Beispiel haben die positiven reellen Zahlen ℝ ⁺ (ohne 0) kein Minimum, da jedes gegebene Element von ℝ ⁺ einfach in zwei Hälften geteilt werden könnte, was zu einer kleineren Zahl führt das ist noch in in ⁺ . Es gibt jedoch genau ein Infimum der positiven reellen Zahlen: 0 ist kleiner als alle positiven reellen Zahlen und größer als jede andere reelle Zahl, die als Untergrenze verwendet werden könnte.

Formale Definition Bearbeiten

Supremum = Mindestobergrenze

A Untergrenze einer Teilmenge S eines Teils geordnete Menge ( P ≤) ist ein Element und von P so dass

Eine untere Schranke und von S wird als Infimum (oder größte untere Schranke oder meet bezeichnet ]) von S if

• für alle Untergrenzen y von S in P y ≤ a ( a ist größer oder gleich einer anderen Untergrenze.

Ebenso eine Obergrenze einer Teilmenge S einer teilweise geordneten Menge ( P ≤) ist ein Element b von P so dass

Eine Obergrenze b von S wird als Supremum (oder Least Upper Bound oder Join bezeichnet ]) von S if

• für alle oberen Schranken z von S in P z ≥ b ( b ist weniger als jede andere obere Schranke.

Existenz und Einzigartigkeit edit

Infima und Suprema existieren nicht unbedingt. Das Vorliegen eines Infimums einer Teilmenge S von P kann fehlschlagen, wenn S überhaupt keine Untergrenze hat oder wenn die Menge der Untergrenzen kein a enthält größtes Element. Wenn jedoch ein Infimum oder Supremum existiert, ist es einzigartig.

Folglich werden teilweise geordnete Mengen, für die bestimmte Infima bekannt sind, besonders interessant. Beispielsweise ist ein Gitter eine teilweise geordnete Menge, in der alle nicht leeren endlichen Teilmengen sowohl ein Supremum als auch ein Infimum haben, und ein vollständiges Gitter ist eine teilweise geordnete Menge, in der alle Teilmengen haben sowohl ein Supremum als auch ein Infimum. Weitere Informationen zu den verschiedenen Klassen von teilweise geordneten Mengen, die sich aus solchen Überlegungen ergeben, finden Sie im Artikel über Vollständigkeitseigenschaften.

Wenn das Supremum einer Teilmenge S existiert, ist es eindeutig. Wenn S ein größtes Element enthält, dann ist dieses Element das Supremum; ansonsten gehört das Supremum nicht zu S (oder existiert nicht). Ebenso ist das Infimum eindeutig, wenn es existiert. Wenn S ein kleinstes Element enthält, ist dieses Element das Infimum; ansonsten gehört das Infimum nicht zu S (oder existiert nicht).

Relation zu maximalen und minimalen Elementen [ edit

Das Infimum einer Teilmenge S einer teilweise geordneten Menge P unter der Annahme es existiert, gehört nicht unbedingt zu S . Wenn dies der Fall ist, handelt es sich um ein Mindest- oder Mindestelement von S . In ähnlicher Weise ist das Supremum von S zu S ein maximales oder größtes Element von S .

Betrachten Sie beispielsweise die Menge der negativen reellen Zahlen (ohne Null). Diese Menge hat kein größtes Element, da es für jedes Element der Menge ein anderes, größeres Element gibt. Beispielsweise gibt es für jede negative reelle Zahl x eine andere negative reelle Zahl

was größer ist. Andererseits ist jede reelle Zahl, die größer oder gleich Null ist, mit Sicherheit eine Obergrenze für diese Menge. Daher ist 0 die unterste Obergrenze der negativen Realwerte, daher ist das Supremum 0. Diese Menge hat ein Supremum, aber kein größtes Element.

Die Definition von maximalen und minimalen Elementen ist jedoch allgemeiner. Insbesondere kann eine Menge viele maximale und minimale Elemente enthalten, während Infima und Suprema einzigartig sind.

Während Maxima und Minima Mitglieder der betrachteten Teilmenge sein müssen, müssen Infimum und Supremum einer Teilmenge nicht selbst Mitglieder dieser Teilmenge sein.

Minimale obere Schranken [] ]

Schließlich kann eine teilweise geordnete Menge viele minimale obere Schranken aufweisen, ohne dass eine minimale obere Schranke vorliegt. Minimale Obergrenzen sind diejenigen Obergrenzen, für die es kein streng kleineres Element gibt, das auch eine Obergrenze ist. Dies bedeutet nicht, dass jede minimale Obergrenze kleiner ist als alle anderen Obergrenzen, sondern nur, dass sie nicht größer ist. Die Unterscheidung zwischen "minimal" und "least" ist nur möglich, wenn die angegebene Reihenfolge keine vollständige ist. In einer vollständig geordneten Menge sind die Konzepte wie bei den reellen Zahlen die gleichen.

Als Beispiel sei S die Menge aller endlichen Teilmengen natürlicher Zahlen und die teilweise geordnete Menge, die man erhält, wenn man alle Mengen aus S zusammen mit der Menge ganzer Zahlen nimmt ℤ und die Menge der positiven reellen Zahlen ℝ ⁺ geordnet nach Teilmengeneinschluss wie oben. Dann sind sowohl ℤ als auch ℝ ⁺ eindeutig größer als alle endlichen Mengen natürlicher Zahlen. Weder ist ℝ ⁺ kleiner als ℤ, noch ist das Gegenteil der Fall: Beide Mengen sind minimale Obergrenzen, aber keine ist ein Supremum.

Least-Upper-Bound-Eigenschaft [ edit

Die Least-Upper-Bound-Eigenschaft ist ein Beispiel für die vorgenannten Vollständigkeitseigenschaften, die typisch für das sind Reihe von reellen Zahlen. Diese Eigenschaft wird manchmal als Dedekind-Vollständigkeit bezeichnet.

Wenn eine geordnete Menge S die Eigenschaft hat, dass jede nicht leere Teilmenge von S mit einer Obergrenze auch eine unterste Obergrenze hat, dann wird S gesagt die Eigenschaft der geringsten Obergrenze haben. Wie oben erwähnt, hat die Menge ℝ aller reellen Zahlen die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze. In ähnlicher Weise hat die Menge ℤ von ganzen Zahlen die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze; wenn S eine nicht leere Teilmenge von ℤ ist und es eine solche Anzahl n gibt, dass jedes Element s von S kleiner oder gleich ist bis n dann gibt es eine Mindestobergrenze u für S eine Ganzzahl, die eine Obergrenze für S ist und kleiner ist als oder gleich jeder anderen oberen Schranke für S . Eine gut geordnete Menge hat auch die Eigenschaft der geringsten Obergrenze, und die leere Teilmenge hat auch die geringste Obergrenze: das Minimum der gesamten Menge.

Ein Beispiel für eine Menge, der die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze fehlt, ist 00, die Menge rationaler Zahlen. Sei S die Menge aller rationalen Zahlen q so dass q ² <2. Dann hat S eine obere Schranke (1000 zum Beispiel oder 6), aber keine Mindestobergrenze in in: Wenn wir annehmen, dass p ∈ ∈ die Mindestobergrenze ist, wird sofort ein Widerspruch hergeleitet, weil zwischen zwei beliebigen Realitäten x und y (einschließlich √ 2 und p ) gibt es einige rationale p ', die selbst müssten die kleinste obere Schranke sein (wenn p > √ 2 ) oder ein Mitglied von S größer als p (wenn p < √ 2 ). Ein anderes Beispiel sind die Hyperreals; Es gibt nicht zuletzt eine Obergrenze der Menge positiver Infinitesimale.

• p = inf A genau dann, wenn für jede ε > 0 eine x ∈ A mit x < p + ε und x ≥ p für jede x ∈ A .
• p = sup A genau dann, wenn für jede ε > 0 eine x ∈ A mit x > p – ε und x ≤ p für alle x ∈ A .
• If A ⊆ B then inf A ≥ inf B und sup A ≤ sup B .
• Wenn λ ≥ 0, dann inf λA = λ inf A und sup λA = λ sup A .
• If λ <0, then inf λA = λ sup A und sup λA = λ inf A . inf A + B = inf A + inf B ; ähnlich für Suprema.
• Wenn A B Mengen von positiven reellen Zahlen sind, dann inf AB = inf A · inf B ; Ähnliches gilt für Suprema. ^[2]

Dualität Bearbeiten

Wenn man mit P ^op die teilweise geordnete Menge P bezeichnet mit der entgegengesetzten Ordnungsbeziehung, dh

• x ≤ y in P ^op genau dann, wenn x ≥ y in P

dann Infimum einer Teilmenge S in P entspricht dem Supremum von S in P ^op und umgekehrt.

Für Teilmengen der reellen Zahlen gilt eine andere Art der Dualität: inf S = −sup (- S ), wobei – S = {- s | s ∈ S }.

Beispiele [ Bearbeiten ]

Infima Bearbeiten

• Das Infimum der Zahlenmenge {2,3,4 } ist 2. Die Zahl 1 ist eine Untergrenze, aber nicht die größte Untergrenze und daher auch nicht das Infimum.
• Wenn eine Menge ein kleinstes Element enthält, ist das kleinste Element das Infimum für die Menge. In diesem Fall wird es auch als Minimum der Menge bezeichnet.
• 
  ${ displaystyle inf {1,2,3, ldots } = 1}$

  

• <math > inf { x ∈ R [19659099] ∣ 0 < x < 1 } = 0 { displaystyle inf {x in mathbb {R} mid 0 <x <1 } = 0}

  <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3036c5cfffe7f90aff338a75f26142968af67462" class = "mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden = "true" style = "vertical-align: -0.838ex; Breite: 26,874ex; Höhe: 2,843ex; "alt =" { displaystyle inf {x in mathbb {R} mid 0 <x <1}=0}"/>

• 
  ${ displaystyle inf {x in mathbb {Q} mid x ^ {3}> 2 } = { sqrt [{3}] {2}}$

  

• 
  ${ displaystyle inf left {(- 1) ^ {n} + { tfrac { 1} {n}} mid n = 1,2,3, ldots right } = – 1}$

  

• If x _n ist eine abnehmende Sequenz mit Limit x dann inf x _n = x .

Suprema bearbeiten ]

• Das Supremum der Zahlenmenge {1,2,3} ist 3. Die Zahl 4 ist eine Obergrenze, aber nicht die unterste Obergrenze, und daher auch nicht das Supremum.
• <math > sup { x ∈ R ∣ 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R ∣ 0 ≤ x ≤ 1 } = 1 { displaystyle sup {x in mathbb {R} mid 0 <x <1 } = sup {x in mathbb {R} mid 0 leq x leq 1 } = 1}

  <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math / render / svg / 1e20e8ea755c538a36b599a618b32a4a4cc1f6f2 "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.838ex; Breite: 54,286ex; height: 2.843ex; "alt =" { displaystyle sup {x in mathbb {R} mid 0 <x <1}=sup{xin mathbb {R} mid 0leq xleq 1}=1}"/>

• 
  ${ displaystyle sup {a + b mid a in A, b in B } = sup A + sup B} [19659109]$