Die Rayleigh-Ritz-Methode ist eine numerische Methode zum Auffinden von Näherungen an Eigenwertgleichungen, die sich nur schwer analytisch lösen lassen, insbesondere im Zusammenhang mit der Lösung physikalischer Grenzwertprobleme, die sich als Matrixdifferentialgleichungen ausdrücken lassen. Es wird im Maschinenbau verwendet, um die Eigenmoden eines physikalischen Systems zu approximieren, beispielsweise um die Resonanzfrequenzen einer Struktur zu ermitteln, um eine angemessene Dämpfung zu steuern. Der Name ist eine verbreitete Fehlbezeichnung zur Beschreibung der Methode, die besser als Ritz-Methode oder Galerkin-Methode bezeichnet wird. [ Zitat erforderlich Diese Methode wurde 1909 von Walther Ritz erfunden. aber es hat eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Rayleigh-Quotienten, und so bleibt die Fehlbezeichnung bestehen. [ Benötigtes Zitat
Beschreibung der Methode [
Die Rayleigh-Ritz-Methode ermöglicht die Berechnung von Ritz-Paaren
die die Lösungen für das Eigenwertproblem annähern [1]
-
wobei
.
Das Verfahren ist wie folgt: [2]
- Berechne eine orthonormale Basis
der sich dem -Eigenraum nähert, der [19459006entspricht] m Eigenvektoren
- Berechnen
- Berechne die Eigenwerte der R-Lösung
- Bilden Sie die Ritz-Paare
Die Genauigkeit einer solchen Annäherung kann immer über
![| A { tilde {{ textbf {x}}} _ {i} - { tilde { lambda}} _ {i} { tilde {{ textbf {x}}} _ {i} | [19659037]
</p>
<p> Wenn ein Krylov-Unterraum verwendet wird und A eine allgemeine Matrix ist, ist dies der Arnoldi-Algorithmus.
</p>
<h3><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa02917a8f3a3b46506e3b65deea2efd2d302953)
Die Methode in der Variationsrechnung [ edit
In dieser Technik approximieren wir das Variationsproblem und erhalten ein endliches Dimensionsproblem. Beginnen wir also mit dem Problem der Suche nach einer Funktion
![y (x) [19659020] das ein Integral extremisiert <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e871993bfd131a8b0c3591c26084cf8171a74dcd)
![{ displaystyle I [y(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5cbc35832d83ad6859ed1364bf9de741ab0048b)
. Angenommen, wir können y (x) durch eine lineare Kombination bestimmter linear unabhängiger Funktionen des Typs approximieren:
wobei
sind Konstanten, die durch ein Variationsverfahren wie eines, das nachstehend beschrieben wird, zu bestimmen sind.
Die Auswahl der Approximationsfunktionen
Die Verwendung ist mit Ausnahme der folgenden Überlegungen willkürlich:
a) Wenn das Problem Randbedingungen wie feste Endpunkte aufweist, dann
wird ausgewählt, um die Randbedingungen des Problems zu erfüllen, und alle anderen
verschwinden an der Grenze.
b) Wenn die Form der Lösung bekannt ist, dann
kann so gewählt werden, dass
wird diese Form haben.
Die Erweiterung von
in etwa Funktionen ersetzen das Variationsproblem der Extremisierung des Funktionsintegrals
auf ein Problem beim Finden einer Menge von Konstanten
das
. Wir können dies jetzt lösen, indem wir die partiellen Ableitungen auf Null setzen. Für jeden Wert von i
Das Verfahren besteht darin, zuerst eine anfängliche Schätzung von
durch die Approximation
. Als nächstes die Näherung
wird verwendet (wobei
erneut bestimmt wird) . Der Prozess wird mit
als dritte Annäherung und so weiter. In jeder Phase sind die folgenden zwei Punkte wahr:
- Im i-ten Stadium sind die Begriffe
wird neu bestimmt [19659049] Die Annäherung an das
Stadium
wird nicht schlechter sein als der Annäherung an den
Stadium
Konvergenz der Prozedur bedeutet, dass, wenn i gegen Unendlich tendiert, die Approximation gegen die exakte Funktion tendiert
das ein Integral
.
In vielen Fällen verwendet man einen vollständigen Satz von Funktionen e. G. Polynome oder Sinus und Cosinus. Eine Reihe von Funktionen
heißt vollständig über [a, b]wenn für jede integrierbare Riemann-Funktion
es gibt einen Satz von Koeffizientenwerten
das
.
Die oben beschriebene Prozedur kann auf Fälle mit mehr als einer unabhängigen Variablen erweitert werden.
Anwendungen im Maschinenbau [
Die Rayleigh-Ritz-Methode wird im Maschinenbau häufig verwendet, um die ungefähren realen Resonanzfrequenzen von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden, wie z. B. Federn, zu ermitteln Massensysteme oder Schwungräder auf einer Welle mit unterschiedlichem Querschnitt. Es ist eine Erweiterung von Rayleighs Methode. Es kann auch zum Auffinden von Knicklasten und Nachknickverhalten für Stützen verwendet werden.
Betrachten wir den Fall, in dem wir die Resonanzfrequenz der Schwingung eines Systems ermitteln wollen. Schreiben Sie zuerst die Schwingung in die Form,
mit einer unbekannten Modusform
![{ displaystyle Y (x)} [19659037]. Bestimmen Sie als Nächstes die Gesamtenergie des Systems, die aus einem kinetischen und einem potenziellen Energieterm besteht. Der kinetische Energieterm beinhaltet das Quadrat der Zeitableitung von <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca9de77ea29879f48f3f08c469fb73b8945a094)
und erhält damit einen Faktor von
. So können wir die Gesamtenergie des Systems berechnen und in folgender Form ausdrücken:
![{ displaystyle E = T + V equiv A [Y(x)] omega ^ {2} sin ^ {2} omega t + B [Y(x)] cos ^ {2} omega t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da15fb7a33f10bf601d807bd457156117b7970f5)
Durch Energieerhaltung muss die mittlere kinetische Energie gleich der mittleren potentiellen Energie sein. Somit,
![{ displaystyle omega ^ {2} = { frac {B [Y(x)]} {A [Y(x)]}} = R [Y(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f791c546c867d7c4eaa6d658eb4707f53724a4b0)
der auch als Rayleigh-Quotient bezeichnet wird. Wenn wir also die Modenform
![{ displaystyle A [Y(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d734b5fc06a5eec96060c6c5a5c1932f940f8)
und
![{ displaystyle B [Y(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21249b7b1cb271c601cccbdbf91132b66a02f815)
und erhalten die Eigenfrequenz. Die Modenform ist uns jedoch noch nicht bekannt. Um dies zu finden, können wir
als Kombination einiger Näherungsfunktionen
wobei
sind Konstanten bestimmt werden. Wenn wir eine zufällige Menge von
wird eine Überlagerung der tatsächlichen Eigenmoden des Systems beschrieben. Wenn wir jedoch nach
wie z dass die Eigenfrequenz
minimiert wird, dann wird der durch diesen Satz von beschriebene Modus
liegen nahe am niedrigsten möglicher tatsächlicher Eigenmodus des Systems. Somit findet dies die niedrigste Eigenfrequenz. Wenn wir Eigenmoden finden, die orthogonal zu dieser angenäherten niedrigsten Eigenmode sind, können wir auch die nächsten Eigenfrequenzen finden.
Im Allgemeinen können wir
und
als Sammlung von Begriffen mit quadratischen Koeffizienten
:
![{ displaystyle B [Y(x)] = sum _ {i} sum _ {j} c_ {i} c_ {j} K_ {ij} = { bf {c ^ {T} Kc}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a95752892e8ac0b863915712b628fe2cb25426b)
![{ displaystyle A [Y(x)] = sum _ {i} sum _ {j} c_ {i} c_ {j} M_ {ij} = { bf {c ^ {T} Mc}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab2b6a7503e8623fe8487de354a6a1319ba17f6)
Die Minimierung von
wird:
Lösen Sie dies,
![{ displaystyle { bf {{c ^ {T} Mc} { partial { bf {c ^ {T} Kc }} over partial c} - { bf {{c ^ {T} Kc} { partial { bf {c ^ {T} Mc}} over partial c} = 0}}}} [19659037]
</p>
<p> <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68088759385a275215c1952e8ca59502782dab9b)
Für eine nicht triviale Lösung von c muss die Determinante des Matrixkoeffizienten von c Null sein.
Dies ergibt eine Lösung für die ersten N Eigenfrequenzen und Eigenmoden des Systems, wobei N die Anzahl der Approximationsfunktionen ist.
Einfacher Fall eines Systems mit doppelter Federmasse
In der folgenden Diskussion wird der einfachste Fall verwendet, in dem das System zwei konzentrierte Federn und zwei konzentrierte Massen und nur zwei Modi aufweist Formen werden angenommen. Daher M = m 1 m 2 und K = k [19659898] 1 k 2 .
Für das System wird eine Modenform mit zwei Begriffen angenommen, von denen einer mit einem Faktor B, z. Y = [1, 1] + B [1, −1].
Einfache harmonische Bewegungstheorie besagt, dass die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt der Ablenkung Null ist, die Winkelfrequenz
multipliziert mit der Ablenkung (y) zum Zeitpunkt von maximale Auslenkung. In diesem Beispiel beträgt die kinetische Energie (KE) für jede Masse
usw., und die potentielle Energie (PE) für jede Feder beträgt
nach B, der sich nach B unterscheiden lässt Finden Sie das Minimum, dh wenn
. Dies ergibt den Wert von B, für den
am niedrigsten ist. Dies ist eine Lösung mit Obergrenze für
if
