In der Mathematik sind zwei Mengen oder Klassen A und B gleich zahlreich wenn es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung (eine Biktion) zwischen ihnen gibt. dh wenn es eine Funktion von A bis B gibt, so dass es für jedes Element y von B genau ein Element gibt x von Eine mit f ( x = y . [1] Zahllose Mengen sollen die gleiche Kardinalität haben (Anzahl der Elemente). [2] Das Studium der Kardinalität wird häufig als Äquinumerosität ( Zahlengleichheit ) bezeichnet. Die Begriffe Gleichheit ( Kraftgleichheit ) und Gleichheit ( Machtgleichheit ) werden manchmal verwendet.
Äquinumerosität hat die charakteristischen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. [1] Die Aussage, dass zwei Mengen A und B gleich sind, wird üblicherweise als gleich bezeichnet
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Die Definition der Äquinumerosität unter Verwendung von Bijektionen kann sowohl auf endliche als auch auf endliche angewendet werden Unendlich Mengen und ermöglicht die Angabe, ob zwei Mengen dieselbe Größe haben, auch wenn sie unendlich sind. Georg Cantor, der Erfinder der Mengenlehre, hat 1874 gezeigt, dass es mehr als eine Art von Unendlichkeit gibt, nämlich dass die Sammlung aller natürlichen Zahlen und die Sammlung aller reellen Zahlen, obwohl beide unendlich sind, nicht gleich zahlreich sind (siehe Cantors erste Unzählbarkeit) Beweis). In einer umstrittenen Abhandlung von 1878 definierte Cantor explizit den Begriff "Potenz" von Mengen und verwendete ihn, um zu beweisen, dass die Menge aller natürlichen Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen gleich sind (ein Beispiel für die Situation, in der eine richtige Teilmenge von a Unendliche Menge ist gleich zahlreich mit der ursprünglichen Menge), und das kartesische Produkt sogar einer abzählbar unendlichen Anzahl von Kopien der reellen Zahlen ist gleich zahlreich mit einer einzelnen Kopie der reellen Zahlen.
Der Satz von Cantor aus dem Jahr 1891 impliziert, dass keine Menge der eigenen Potenzmenge (der Menge aller ihrer Teilmengen) entspricht. [1] Dies ermöglicht die Definition immer größerer unendlicher Mengen, beginnend mit einer einzigen unendlichen Menge.
Wenn das Axiom der Wahl gilt, kann die Kardinalzahl einer Menge als die kleinste Ordinalzahl dieser Kardinalität angesehen werden (siehe ursprüngliche Ordinalzahl). Andernfalls kann es (nach Scotts Trick) als die Menge von Mengen mit minimalem Rang angesehen werden, die diese Kardinalität haben. [1]
Die Aussage, dass zwei beliebige Mengen entweder gleich oder eine kleinere Kardinalität haben als das andere ist gleichbedeutend mit dem Axiom der Wahl. [3]
Kardinalität
Es wird gesagt, dass gleichbedeutende Mengen dieselbe Kardinalität haben. Die Kardinalität einer Menge X ist ein Maß für die "Anzahl der Elemente der Menge". [1] Äquinumerosität hat die charakteristischen Eigenschaften einer Äquivalenzrelation (Reflexivität, Symmetrie und Transitivität): [1]
- Reflexivität
- Bei gegebener Menge A ist die Identitätsfunktion auf A eine Bijektion von A zu sich selbst, die zeigt, dass jede Menge A ] ist mit sich selbst gleichwertig: A ~ A .
- Symmetrie
- Für jede Bijektion zwischen zwei Mengen A und B es gibt eine inverse Funktion, die eine Differenz zwischen B und A ist, was impliziert, dass wenn eine Menge A einer Menge gleich ist B dann ist B auch gleich zahlreich mit A : A ~ B impliziert B ~ A [19659003] .
- Transitivität
- Bei drei Mengen A B und C mit zwei Bijektionen f : A → B und g : B → C die Zusammensetzung g ∘ f 19659003] dieser Bijektionen ist eine Bijektion von A bis C wenn also A und B gleich und B und C sind gleich zahlreich, dann A und C sind gleich zahlreich: A ~ B und B ~ C implizieren zusammen A ~ C .
Der Versuch, die Kardinalität einer Menge als Äquivalenzklasse aller Mengen gleich zahlreich zu definieren Problematisch ist es in der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie, der Standardform des Axioms Tic-Mengen-Theorie, weil die Äquivalenzklasse einer nicht leeren Menge zu groß wäre, um eine Menge zu sein: Es wäre eine richtige Klasse. Im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Beziehungen per Definition auf Mengen beschränkt (eine binäre Beziehung auf einer Menge A ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts A × A ), und es gibt keine Menge aller Mengen in der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre wird versucht, anstatt die Kardinalität einer Menge als Äquivalenzklasse aller ihr gleichwertigen Mengen zu definieren, jeder Äquivalenzklasse eine repräsentative Menge zuzuweisen (Kardinalzuweisung). In einigen anderen Systemen der axiomatischen Mengenlehre, z. Von Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre und Morse-Kelley-Mengenlehre werden die Beziehungen auf Klassen ausgedehnt.
Eine Menge Eine soll eine Kardinalität haben, die kleiner oder gleich der Kardinalität einer Menge B ist, wenn eine Eins-zu-Eins-Funktion (eine Injektion) von A in B . Dies wird als | A | bezeichnet ≤ | B |. Wenn A und B nicht gleich zahlreich sind, dann gilt die Kardinalität von A als streng kleiner als die Kardinalität von B . Dies wird als | A | bezeichnet <| B |. Wenn das Axiom der Wahl gilt, gilt das Gesetz der Trichotomie für Kardinalzahlen, so dass zwei beliebige Mengen entweder gleich zahlreich sind oder eine streng kleinere Kardinalität als die andere hat. [1] Das Gesetz der Trichotomie für Kardinalzahlen impliziert auch die Axiom der Wahl. [3]
Das Schröder-Bernstein-Theorem besagt, dass es zwei beliebige Mengen A und B gibt, für die es zwei Eins-zu-Eins-Sätze gibt. eine Funktion f : A → B und g : B → A sind ebenso viele: if | A | ≤ | B | und | B | ≤ | A |, dann | A | = | B |. [1][3] Dieser Satz beruht nicht auf dem Axiom der Wahl.
Satz von Cantor [ ]
Der Satz von Cantor impliziert, dass keine Menge gleich der Potenzmenge (der Menge aller ihrer Teilmengen) ist. [1] Dies gilt auch für unendliche Mengen . Insbesondere ist die Potenzmenge einer zählbar unendlichen Menge eine unzählbare Menge.
Die Annahme der Existenz einer unendlichen Menge N die aus allen natürlichen Zahlen besteht, und die Annahme der Existenz der Potenzmenge einer gegebenen Menge ermöglicht die Definition einer Folge N P ( N ), P ( P ( N ), P ( P ( P ( N )),… von unendlichen Mengen, wobei jede Menge die Potenzmenge der vorhergehenden Menge ist. Nach dem Satz von Cantor übersteigt die Kardinalität jeder Menge in dieser Sequenz streng die Kardinalität der vorhergehenden Menge, was zu immer größeren unendlichen Mengen führt.
Cantors Werk wurde von einigen seiner Zeitgenossen scharf kritisiert, z. von Leopold Kronecker, der stark an einer finitistischen Philosophie der Mathematik festhielt und die Idee ablehnte, dass Zahlen eine tatsächliche, vollständige Gesamtheit (eine tatsächliche Unendlichkeit) bilden können. Cantors Ideen wurden jedoch von anderen verteidigt, z. von Richard Dedekind, und schließlich wurden weitgehend akzeptiert, stark von David Hilbert unterstützt. Siehe Kontroverse über Cantors Theorie.
Im Rahmen der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie garantiert das Axiom der Potenzmenge die Existenz der Potenzmenge jeder gegebenen Menge. Darüber hinaus garantiert das Axiom der Unendlichkeit die Existenz mindestens einer unendlichen Menge, nämlich einer Menge, die die natürlichen Zahlen enthält. Es gibt alternative Mengen-Theorien, z. "Allgemeine Mengenlehre" (GST), Kripke-Platek-Mengenlehre und Taschenmengenlehre (PST), die das Axiom der Potenzmenge und das Axiom der Unendlichkeit bewusst weglassen und die Definition der von vorgeschlagenen unendlichen Hierarchie von Unendlichkeiten nicht zulassen Kantor.
Die den Mengen entsprechenden Kardinalitäten N P ( N ), P ( P ( N ), P ( P ( N )),… sind the beth numbers
![] beth _ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06e5b1eeeb0ea2574fea53f0c3989736b2836a4)
,…, mit die erste Beth-Nummer
ist gleich
( aleph naught), t Die Kardinalität einer abzählbar unendlichen Menge, und die zweite Beth-Zahl
ist gleich [19659120] c { displaystyle { mathfrak {c}}
die Kardinalität des Kontinuums.
Dedekind-Infinite-Mengen
Manchmal ist eine Menge gleich zahlreich mit einigen ihrer richtigen Teilmengen, z. Die Menge der natürlichen Zahlen entspricht der Menge der geraden natürlichen Zahlen. Eine solche Menge heißt Dedekind-Infinite. [1] [3]
Das Axiom der zählbaren Wahl (AC ω ), eine schwache Variante von Das Axiom der Wahl (AC) wird benötigt, um zu zeigen, dass eine Menge, die nicht Dedekind-unendlich ist, tatsächlich endlich ist. Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie ohne das Axiom der Wahl (ZF) sind nicht stark genug, um zu beweisen, dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist, sondern die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie mit dem Axiom der zählbaren Wahl ( ZF + AC ω ) sind stark genug. [5] Andere Definitionen von Endlichkeit und Unendlichkeit von Mengen erfordern hierfür nicht das Axiom der Wahl. [1]
Kompatibilität mit Mengenoperationen edit ]
Equinumerosity ist mit den Grundmengenoperationen auf eine Weise kompatibel, die die Definition der Kardinalarithmetik ermöglicht. [1] Insbesondere ist Equinumerosity mit disjunkten Vereinigungen kompatibel: Wenn vier Mengen gegeben sind A B C und D mit A und C einerseits und B ] und D dagegen paarweise disjunkt und mit A ~ B und C ~ D dann A ∪ C ~ B ∪ . Dies wird verwendet, um die Definition der Kardinaladdition zu rechtfertigen.
Equinumerosität ist außerdem kompatibel mit kartesischen Produkten:
- If A ~ B und C ~ D then A × C ] ~ B × D .
- A × B × A
- ( A × B × C ~ A × ( B × C
Diese Eigenschaften werden verwendet, um die Kardinalmultiplikation zu rechtfertigen.
Potenzierung:
- If A ~ B und C ~ D then A C ~ B D . (Hier X Y bezeichnet die Menge aller Funktionen von Y bis X .)
- A B ∪ C ~ A B × A C für disjunkt B und C ] ( A × B ) C ~ A C × B C 19659165] ( A B ) C ~ A B × C
Diese Eigenschaften werden verwendet Begründen Sie die kardinale Potenzierung.
Außerdem ist die Potenzmenge einer gegebenen Menge A (die Menge aller Teilmengen von A ) gleich der Menge 2 A aller Funktionen von der Menge A bis zu einer Menge mit genau zwei Elementen.
Kategoriale Definition Bearbeiten
In Set ist die Kategorie aller Mengen mit Funktionen als Morphismen, ein Isomorphismus zwischen zwei Mengen genau eine Bijektion, und zwei Mengen sind genau dann gleich zahlreich Sie sind in dieser Kategorie isomorph.
Siehe auch [ bearbeiten ]
Verweise [ bearbeiten ]
